九年级数学上册第一单元知识点总结文章来源：中考网第一章证明一、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形2、性质：⑴等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)⑵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合。
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第一章 证明一、等腰三角形
1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质：
⑴ 等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
⑵ 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合(“三线合一”)
⑶ 等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)
⑷ 等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
⑸ 等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
⑹ 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高。(可用等面积法证)
⑺等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3、判定：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称：等角对等边)。
- 特殊的等腰三角形——等边三角形
1、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形。
(注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形)。
2、 性质 ：
⑴ 等边三角形的内角都相等，且均为60度。
⑵ 等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶ 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定：
⑴ 三边相等的三角形是等边三角形。
⑵ 三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶ 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等
1、 直角三角形全等的判定有5种：
⑴ 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)
⑵ 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)
⑶ 三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
⑷ 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)
⑸ 斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)
2、在直角三角形中，如有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半
3、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
4、垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
性质：线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等，交点为三角形的外心。
6、角平分线上的点到角两边的距离相等。
7、在角内部的，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
9、三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
10、三角形三条中线交于一点，交点为三角形的重心。
11、三角形三条高线交于一点，交点为三角形的垂心。
三、平行四边的定义
1、定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，
2、性质：
⑴ 平行四边形的对边相等。
⑵ 对角相等。
⑶ 对角线互相平分。
3、判定：
⑴ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
⑵ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
⑶ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
⑷ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
⑸ 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
⑹ 一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
- 两个假命题
⑴ 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。
⑵ 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。
四、矩形
1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
2、性质：
⑴ 具有平行四边形的性质，
⑵ 对角线相等，
⑶ 四个角都是直角。
⑷ 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
3、判定：
⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形。
⑵ 对角线相等的平行四边形是矩形。
五、菱形
1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：
⑴ 具有平行四边形的性质,
⑵ 四条边都相等,
⑶ 两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
3、判定：
⑴ 四条边都相等的四边形是菱形。
⑵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶ 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
六、 正方形
1、定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
3、判定：
⑴ 有一个内角是直角的菱形是正方形;
⑵ 有一组邻边相等的矩形是正方形;
⑶ 对角线相等的菱形是正方形;
⑷ 对角线互相垂直的矩形是正方形。
七、梯形
定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
八、 等腰梯形
1、定义：两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形
九、三角形的中位线
1、定义：连接三角形两边中点的线段。
2、性质：平行于第三边，并且等于第三边的一半。
十、梯形的中位线
1、定义：连接梯形两腰中点的线段。
2、性质：平行于两底，并且等于两底和的一半。
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