探究无盖长方体最大容积之谜在生活中很多常见的物品都是长方体，例如各种包装纸盒等等无盖长方体是怎样制作出来的呢？请看下图：从左往右看，是制作示意图；从右往左看，是降维打击在降维打击中，蕴含着重要的数学思想——转化思想即将复杂的立。
在生活中很多常见的物品都是长方体，例如各种包装纸盒等等。
无盖长方体是怎样制作出来的呢？请看下图：
从左往右看，是制作示意图；从右往左看，是降维打击。
在降维打击中，蕴含着重要的数学思想——转化思想。即将复杂的立体几何问题转化为简单的平面几何问题来研究。
现在问题来了：
七年级学生Shirley买了一张漂亮的卡纸，并裁剪为边长20厘米的正方形。她问我，数学要上综合实践课，怎样利用这张正方形卡纸，制作一个容积最大的无盖长方体？
这是一个很棒的问题！如果不是课本提出来的，而是学生自由思考后主动提出来的，那就更好了。
现在我们开始探索之旅。
首先，动手制作一个长方体。在卡纸上画图，再剪去四个角的小正方形，翻折四条边并粘好固定。于是，长方体做好了。
还有没有别的制作方法？有，请看下图：
图二和图三制作的长方体容积一样大，但图二更麻烦，所以我们选择图三更方便。
现在我们来探究长方体容积的变化规律。
用代数式表达长方体的容积：
V=（a－2b）（a－2b）b
从公式看出，a是定值，b是影响容积的重要变量。
我们列表计算长方体的容积：把a=20，b分别在1～10取值计算，结果如下表。
再制作图形，把数据可视化：
条形统计图和折线统计图
现在对b和V的关系有初步的感性认识了。小正方形边长b不能太大，也不能太小，要找到合适的值才能使容积最大。
我们用代数方法来探究长方体的容积变化规律。
要求出最大值，要运用两个代数定理：
［定理1］若n个正数x₁、x₂、x₃...xₙ的和为定值，当它们彼此相等时，其乘积最大。即 若x₁ x₂ x₃ ... xₙ=k（k为常数）
则当x₁=x₂=x₃=...=xₙ时，函数 y=x₁x₂x₃...xₙ达最大值。
［定理2］若n个正数x₁、x₂、x₃...xₙ的乘积为定值，当它们彼此相等时，其和最小。即 若x₁x₂x₃...xₙ=k（k为常数）
则当x₁=x₂=x₃=...=xₙ时，
函数 y=x₁ x₂ x₃ ... xₙ达最小值。
这两个定理很容易理解。你想，一个数，例如12，把它分为相等的两个数，当然乘积最大。6×6当然大于4×8。正方形面积总是大于相同周长的长方形面积。
这两个定理也不要求七年级学生证明，只有明白数学的严谨由数学家的辛勤工作保证，前人已经证明过了，我们感谢数学家即可。
有了武器，我们开始用代数方法寻求容积V的最大值。
把代数式变形，
（a－2b）（a－2b）b
=1/4（a－2b）（a－2b）4b
我们注意到上式的红色字体部分展开后等于2a是一个常数，就可以运用定理1了。若（a－2b） （a－2b） 4b为定值时，则当（a－2b）=（a－2b）=4b时，
（a－2b）（a－2b）4b达最大值。
由（a－2b）=4b可得a=6b，
即b=a/6时，长方体容积最大。
1999年，李政道先生以外籍院士的身份，为院士科普系列图书写了一本小册子《对称和不对称》。书中谈到了物理学家定律很有趣，引用如下：
物理学家第一定律：没有实验物理学家，理论物理学家就要漂浮不定。
要理解物理学家的定律，你完全不必知道任何物理学定律。
物理学家第二定律。没有理论物理学家，实验物理学家就会犹豫不决。
引自：今日头条文章：李政道《对称与不对称》书摘笔记15:物理学的发现和物理学家的定律
现在，有了理论的指导，我们就可以像实验物理学家一样，重新设计实验方案。
现在我们把a设定为30，b分别取值4.99999和5以及5.00001，然后计算长方体的容积，结果如下：
b=4.99999，a－2b=20.00002，
V=1999.99 999 999
继续，
b=5，a－2b=20，
V=2000
继续，
b=5.00001，a－2b=19.99998
V=1999.9999 9999
实验结果表明，实验物理学家证明了理论物理学家的模型是正确的。
宋玉在《登徒子好色赋》中说：东家之子，增之一分则太长，减之一分则太短 ；著粉则太白，施朱则太赤......
我们刚才求的最大值可谓妙到毫巅，比东家之子有过之而无不及。
继续思考，如果不要求底面是正方形，长方体的容积还能不能更大？百度文档的网友经过认真思考，提出了本问题的最佳答案：
如果没有底面必须是正方形的限制，还有一个最佳设计方案：
图七
如图所示，黄色底面是a·a/2的长方形，红色部分是较长的高，蓝色部分是较短的高。
按a=30来计算长方体的容积，
V=30×15×5=2250
值得称奇的是，原材料的利用率达到100%，没有产生边角料的浪费。
总结：底面是正方形的方案比较容易制作。当b=a/6时，长方体容积达最大值：
上图是正方形底面的长方体的最大容积和相应的表面积计算。
结论：如果要求底面是正方形，那么最佳方案是b=a/6；
如果不要求底面是正方形，那么最佳方案是图七。
a是作为原材料的大正方形的边长，b是长方体（无盖）的高。
Shirley还问了最后一个问题，如何构造三阶幻方？
南宋数学家杨辉总结出一套方法，不过对七年级学生不合适。
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第四章节：幻方的设计——以简驭繁，
讲得非常好，读后受益匪浅。
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
