导数的结果应该是严格的特定的0导数的结果应该是严格的特定的0/0——如欧拉所言（1运算）（今天开始发表关于求导数运算的结果的文章现在微积分在高中已经讲授从运算的角度看，不是非常困难困难在于最后的求极限为了让更多的人容易理解，我的文。
导数的结果应该是严格的特定的0/0——如欧拉所言（1运算）
（今天开始发表关于求导数运算的结果的文章。现在微积分在高中已经讲授。从运算的角度看，不是非常困难。困难在于最后的求极限。为了让更多的人容易理解，我的文章讲解得比较详细。文章很长，所以也分为若干部分。建议耐心一些，慢慢看，不要着急。）
1 求导数的运算——从代数运算转化为微积分运算
求导数的运算是微积分的基本运算之一，而且属于入门的运算。这个运算并不十分困难，而且已经公式化了。现在我国的高中阶段已经讲授微积分。但是在求导数的运算中需要应用目前的极限概念，在这个时候就会发现其中有问题。从下面的例子可以清楚地看出这一点。
希望读者至少具备高中的数学知识。但是为方便读者阅读，这里的阐述将尽量详细一些。先假定函数y=f(x)是连续可导的，则可经过变化、求差、作比、求极限这四个步骤求出导数。为了更明确地讨论，举个实际函数y=ax^2(a≠0,a为常量而且a﹥0)（符号“^”表示乘方，这里表示y等于a乘以x的二次方。）为例，并给予讨论（请参考图1(图形过几天再发。请耐心。)）。如果不结合例子，则讨论容易变成“空对空”，问题暴露的不鲜明。（现在大学里讲微积分的时候，常常先讲极限，包括极限的概念、运算，以及无穷小量、无穷大量和连续性等等。讲了一大堆，然后才讲到利用极限求导数。这当然有一定的道理，可是也有问题：由于有比较大的间隔，结果却使其中存在的本来非常明显的矛盾变得模糊了。）
上面提到了几个概念。其中函数是一个非常基本的概念，在中学数学中已经学过了。这里简单的重复一下。如果有两个变量（即在某个运算过程中可以变化的数量），其中的一个变量发生变化时，如果另外一个变量也随着第一个变量的变化而变化，则我们就把第一个变量称为自变量，而把第二个变量称为函数（亦称为因变量）（比较清楚地这样定义函数的第一个人是欧拉[1]）。更多的变量的情况可以类似的定义。通常在数学的一元函数中经常使用字母x表示自变量，而用y表示函数，用式子y=f（x）表示y是x的函数。“连续”这个概念在中学也介绍过，但是它比我们想象的要复杂。以后再说。至于“可导”的含义，将在求出下面的例子中的导数之后再说明。
①变化 让自变量由x 变化到x1 （这是以后运算的基础和出发点），于是函数y也变化为y1
y1=f(x1)；∵ y=ax^2 (1.1)
∴y1=ax1^2 （注意：下标表示不了。y1的1是y的下标。x1含义相同。建议参考下面的图片。） (1.2)
②求差 求出两个差值，就是变化后的自变量x1和变化前的自变量x的差，以及相应的函数y1和y的差。我们分别用Δx和Δy表示这两个差（Δ是希腊字母，念“德尔塔”，在数学中通常用来表示两个数量的差）：
Δx=x1-x (1.3)
Δy=f(x1)-f(x)=ax1^2-ax^2
=a(x Δx)^2-ax^2
=2ax Δx a Δx^2 (1.4)
③作比 即算出上面的函数的差与自变量的差的商值Δy/Δx（马克思称之为预备导函数，即在一个区间里建立了新关系，但现在是近似的关系，不是准确的关系）：
(1.5)
以上3步运算看起来都是代数运算，因为都是有限量的运算，比较容易理解和接受。但是从微积分的角度看，这3个步骤属于预备步骤，所以马克思称（1.5）式的结果为“预备导函数”。[2]
④求极限，即x1→x或Δx→0，于是得出了y的导数（也常常称为“微商”），通常用y’表示（或用dy/dx表示，它们可以通用，但是有时候它们又各有各的用处）（下面的运算中出现了极限的符号“lim”，念“利眯特”，是拉丁文limis[3]的缩写。另外符号“→”也表示极限）：
(1.6) [4]
至此导数已经求出：y'=2ax，运算结束。显然，上面的（1.6）式的含义是：函数y=ax^2的导数y'等于当Δx→0的时候Δy/Δx的极限值。
需要强调指出的是，导数是基于原来的函数所求出的一种新关系。它有具体的含义：它是函数的变化量与自变量的变化量的比值，也就是函数值的变化数量对自变量的变化数量的变化率。函数的导数还有具体的几何含义：原函数在这一点的切线的斜率。在本节3中我们将有进一步的说明。
上面的运算并不困难。但是如何理解求导运算，特别是第四步求极限的运算呢？Δx→0的含义究竟是什么呢？这是难点所在。
应该特别指出，这一步运算是关键性的：由于Δx→0，从而原来的代数运算即“预备”运算已经转化成为微积分的运算。微积分运算的特点是：利用极限才能进行到底。只囿于代数学则不可能彻底说清楚微积分的运算。而前面三步的运算与代数运算只是看起来几乎没有什么差别。但是这三步是预备运算，已经不是纯粹的代数运算。在第四步则彻底告别代数运算，走入了自己的“领地”。
（这里我们开始接触到微积分的一个核心概念：极限。以后如果有机会，会详细说明极限。）
我们首先说明“可导”的含义。在上面的运算中，如果在x变化的时候，不论变大还是变小，即无论Δx﹥0还是Δx﹤0，经过相应的运算之后所得出的导数的数值（注意：必须包括符号）都是相同的，则称这个函数在这一点处是“可导”的。反之，如果在这两种情况下，求出的导数是不同的，则这个函数在这一点就是不可导的，或者只是单侧可导的。很显然，函数y=ax^2是处处可导的，因为从上面的具体运算中，我们容易看出，在函数y=ax^2的任一点处求导数时，无论Δx﹥0还是Δx﹤0，我们所得出的导数都是相同的（2ax）。
这里非常关键的是：求出的结果是2ax，而a Δx那一项已经完全消失了。这个结果实质上已经否定了现行的极限定义，因为现行的极限定义的基本点是：…略。（见后续文章。）
注释
1 欧拉《无穷分析引论》[M]山西教育出版社1997年1-6。欧拉《微分学引论》（英文版）即《Foundations of Differential Calculus 》Euler；Translated by John D.Blahton ©2000 Springer-Verlag, New York, Inc.ⅵ。
2 马克思《数学手稿》北京大学《数学手稿》编译组编译人民出版社1975年7月第1版4，5。
3 据《维基百科》，见http://zh.wikipedia.org/wiki/极限。
4 这一段参考了周述岐《微积分基本原理》修订本，中国人民大学出版社 1989年3月第二版103—104。不同的教科书中的论述大同小异。
