一、连续函数运算-四则运算设f(x),g(x)在x=x0处连续，则：1、f(x)±g(x)在x=x0处连续2、f(x)g(x)在x=x0处连续3、若g(x)≠0,则f(x)/g(x)在x=x0处连续证明:因为f(x),g(x)在x=x0处连续所以lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)（1）lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=lim(x->x0)f(
设f(x),g(x)在x=x0处连续，则：
1、f(x)±g(x)在x=x0处连续
2、f(x)g(x)在x=x0处连续
3、若g(x)≠0,则f(x)/g(x)在x=x0处连续
二、连续函数运算-复合运算证明:
因为f(x),g(x)在x=x0处连续
所以lim(x-x0)f(x)=f(x0),lim(x->x0)g(x)=g(x0)
（1）
lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=lim(x->x0)f(x)±lim(x->x0)g(x)=f(x0)±g(x0)
所以f(x)±g(x)在x=x0处连续
（2）
lim(x->x0)[f(x)g(x)]=lim(x->x0)f(x)lim(x->x0)g(x)=f(x0)g(x0)
所以f(x)g(x)在x=x0处连续
（3）
g(x)≠0
lim(x->x0)[f(x)/g(x)]=lim(x->x0)f(x)/lim(x->x0)g(x)=f(x0)/g(x0)
所以f(x)/g(x)在x=x0处连续
y=f(u), u=g(x), g(x)≠a
若：lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a, 则lim(x->x0)[f(g(x))]=A
即：lim(x->x0)[f(g(x))]=f[lim(x->x0)g(x)]=f(a)
所以求极限遇到复合函数可以将lim往子函数里面“钻”
如：lim(x->0)arctanx((1-x)/(1 x))=arctan[lim(x->0)((1-x)/(1 x))]=arctan1=π/4
三、初等函数连续性1、基本初等函数
（1）x^a
（2）a^x, (a>0且a≠1)
（3）loga(x)，(a>0且a≠1)
（4）sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx
（5）arcsinx, arccosx, arctanx, arccotx
2、基本初等函数在其定义域内连续
3、初等函数(基本初等函数与常数进行四则或复合而成的函数)在其定义域内连续
例1：lim(x->2)[x^3-3x^2 4]
此函数为初等函数，在定义域内连续，由连续的性质的值极限值等于该点函数值
所以：原式=0
例2：lim(x->0)[(1 2x)/(1-x)]^(1/sin2x)
=lim(x->0)[1 3x/(1-x)]^(1/sin2x)
=lim(x->0)[1 3x/(1-x)]^[((1-x)/3x)*(3x/sin2x)*(1/1-x)]
=e^[lim(x->0)[(3x/sin2x)*(1/1-x)]]
=e^[lim(x->0)(3x/sin2x)*lim(x->0)(1/1-x)]
=e^(3/2)
