初二数学期末总复习1初二下学期几何是个难点，其中平行四边形和特殊平行四边形是学生感到比较困难的地方本篇内容主要讲取菱形的证明方法一、基本知识复习证明菱形有两大类四种方法1、通过边来证明菱形四条边都相等的四边形是菱形一组邻。
初二下学期几何是个难点，其中平行四边形和特殊平行四边形是学生感到比较困难的地方。本篇内容主要讲取菱形的证明方法。
一、基本知识复习证明菱形有两大类四种方法
1、通过边来证明菱形
- 四条边都相等的四边形是菱形
- 一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、通过对角线来证明菱形
- 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
- 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
【注意】： 判定一个图形是菱形，首先要注意判别对象是一个四边形还是一个平行四边形。
- 如果是一个平行四边形添加的条件就少，只需一组邻边相等或对角线垂直。
- 所判定的对象是普通四边形所添加的条件就多，需要四边相等或对角线垂直平分。
- 例1、如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．
求证：四边形ABCD为菱形；
【分析】由角边角证明△OAD≌△OCB，从而OD＝OB，所以四边形ABCD是平行四边形，再证明∠CBD＝∠CDB，得到BC＝DC，从而证明四边形ABCD是菱形；
【反思与小结】本题利用全等证明一组对边平行且相等从而证明四边形为四边形。再利用平行线 角平分线出等腰三角形证明出一组邻边相等进而证明出菱形。
- 例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过C作CF∥AB交DE延长线于点F，连接AF、DC．
求证：（1）DE＝FE；
（2）四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由“AAS”可证△AED≌△CEF，可得DE＝EF；
（2）由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证四边形ADCF是菱形．
【反思与小结】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是一个非常重要的定理，看到题目中有中点，有直角就要考虑用这个定理解决问题。
（二）利用对角线互相平分的平行四边形是菱形证明
- 例3、已知：如图平行四边形ABCD中，点O是AC的中点，过点O画AC的垂线，分别交AD、BC于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】由平行四边形的性质可得AE∥FC，由角边角可证△AOE≌△COF，可得EO＝OF，可证四边形AFCE是平行四边形，又因为对角线互相平分，可证四边形AFCE是菱形．
- 例4．如图，已知AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）连接AF、CE，当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由角边角即可证出。
（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE＝CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
【反思与小结】第二问是一个条件开放式问题，在思考的时候从要满足的结论四边形AFCE是菱形入手思考。这也是条件开放式问题的一般思考方法。
（三）利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形证明- 例5．老师布置了一个作业，如下：
已知：如图1▱ABCD的对角线AC的垂直平分线EF交AD于点F，交BC于点E，交AC于点O
求证：四边形AECF是菱形
某同学写出了如图2所示的证明过程，老师说该同学的作业是错误的，请你解答下列问题：
（1）能找出该同学错误的原因吗？请你指出来；
（2）请你给出本题的正确证明过程
【分析】（1）EF是AC的垂直平分线，但EF并没有被平分，所以是错误的
（2）证明全等三角形，得出EO＝FO，证明出对角线垂直平分证明结论．
【反思与小结】利用对角线互相垂直平分证明菱形时，要注意互相二字。只有一条对角线被平分是不行的。
（四）利用四边相等的四边形是菱形证明- 例6．已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CE＝12，∠FCE＝60°，∠AFE＝90°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径做弧，交EF于点B，AB∥CD．
求证：四边形ACDB为△CFE的亲密菱形；
【分析】先根据四边相等的四边形是菱形证明图形是菱形，再根据亲密菱形的定义证明即可。
【反思与小结】根据四边相等的四边形是菱形证明图形是菱形时，一定要注意证明四边相等，缺一不可。有的同学在证明时，只证三条边相等，这是错误的。
- 例7、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
求证：四边形ABFC是菱形；
【分析】根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到四边相等从而证明图形是菱形。
【反思与小结】圆周角定理和中垂线定理是解决这个问题的关键，在一些复杂题目中，综合运用各种定理，找出基本图形是解决几何问题的难点。
三、积累反思菱形的证明是四边形问题中的一大难点，方法多，比较接近，而且与矩形的判定方法容易混淆。在判定菱形时，还要与平行四边形的判定结合在一起进行，所以综合性强。正确分解图形，合理选择方法是证明此类问题的关键。
