综合题中的最短距离和一条河的同一侧有两个村庄，如何在河边修建供水站，使得它到两个村庄的距离和最短？一条马路的两边有两个小区，如何在马路上修建人行天桥，使两个小区间的路程之和最短？先做好这些准备工作，然后进入我们今天的研究。
一条河的同一侧有两个村庄，如何在河边修建供水站，使得它到两个村庄的距离和最短？一条马路的两边有两个小区，如何在马路上修建人行天桥，使两个小区间的路程之和最短？先做好这些准备工作，然后进入我们今天的研究习题。
已知平面直角坐标系中两定点A(-1，0)，B(4，0)，抛物线y=ax² bx-2(a≠0)过点A、B，顶点为C，点P(m，n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
(3)若m>1.5，当∠APB为直角时，将抛物线向左或向右平移t个单位(0<t<2.5)，点C、P平移后的对应的点为点C'、P'，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P'、C'所构成的多边形周长最短？若存在，求出t的值并说明抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由.
(1)将已知的两个点坐标代入函数解析式，求得a=0.5，b=-1.5，故函数解析式为y=0.5x²-1.5x-2，其顶点C坐标为(3/2,-25/8)
(2)根据所求得的解析式作出抛物线图象,如图所示：
以AB为直径作圆D，通过计算发现，抛物线与y轴交点F恰好在圆上，也说明它的对称点E点也在圆上,当点P与E、F重合时，则∠APB=90°，而当点P位于A、F之间或B、E之间时，∠APB为圆内角，大于弦AB所对的圆周角，所以它为钝角，因此我们只需要求出点E、F的坐标即可，E(0,-2)，F(3,-2)，所以-1<m<0或3<m<4
(3)此问的前提条件是m>3/2，即P点在上图中的E点位置，设平移后的点分别为P'(3 t,-2),C'(3/2 t,-25/8)，如图所示，寻找多边形（注意这个词，没有提四边形）周长最短时，由于AB与PC长度一定，所以平移后只需要当AC' BP'长度最短即可，下面我们一起来寻找：
先将线段AC'向右平移5个单位(AB的长度)到BC"，再作点P'关于x轴的对称点P"，连接BP"，通过以上作图，我们达到以下目的：AC'=BC"，BP'=BP"，于是前面的问题AC' BP'的最短问题转化成BC" BP"的最短问题，而当P"、B、C"这三点共线时，这个和才最短，因此，将P"和C"坐标用含t的式子表示出来，求出它们所在直线的解析式，代入点B坐标即可。本题的思考：最短距离和的问题，一般来讲需要将两条线段转换到同一条直线上，利用“两点之间线段最短”来解决问题，转换的方法有平移、轴对称等，这道题中，被转换的线段都有一个共同点，一端是定点，一端是动点，只有这样的线段才符合转换的条件。
